熱力学など、勉強ログ

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六方晶の4指数記法(と3指数記法との対応関係)

この記事では，六方晶系の面指数・方位指数における4指数-3指数の対応関係について備忘録として簡単にお話しさせていただきます．

多くの結晶系において面指数・方位指数を付けるときは3つの結晶軸と対応した3指数を用います(図1(左))が，
六方晶系ではa1軸, a2軸, a3軸, c軸の4つの結晶軸(図2(右))と対応した4指数を用いる場合がほとんどです．( \vec{a3} = -(\vec{a1} + \vec{a2}) )

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図1 立方晶や斜方晶における結晶軸の選び方(左)，六方晶における結晶軸の取り方(右)

六方晶は6回回転対称軸または6回回反対称軸を持っている結晶系であり，a1軸, a2軸, a3軸を同種のベクトルとして扱う(=4指数を用いる)ことで，等価な結晶面や結晶方位がわかりやすくなるという利点があります．
しかしながら，解析に用いるソフトウェアが4指数に対応していないなどの理由で六方晶系でも3指数を用いる必要がある場面を個人的には経験してきため，3指数と4指数の対応関係についてまとめておきたいと思います．

六方晶系で3指数を用いる場合は a1軸, a2軸, c軸(図2(右))の3つを結晶軸として用います．

ここでは3指数, 4指数についてそれぞれ
方位指数：[u v w], [U V T W]
面指数：(h k l), (H K J L)
と記述します．

4指数の記法では，3次元空間におけるベクトルを4つの変数で表現するため(変数が過剰になってしまっており)
方位指数：U + V + T = 0
面指数：H + K + J = 0
というルールがあり，同じ方位/面を表す際に一意に書けるようになっています．

両者の対応関係はそれぞれ
{\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{1} u = U-T \\ v = V-T \\ w = W \\ \end{array} \right . \end{eqnarray} }

{\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{1} U = \frac{2u-v}{3} \\ V = \frac{2v-u}{3} \\ T = \frac{-(u+v)}{3} \\ W = w \end{array} \right . \end{eqnarray} }

{\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{1} h = H \\ k = K \\ l = L \\ \end{array} \right . \end{eqnarray} }

{\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{1} H = h \\ K = k \\ J = -(h+k) \\ L = l \end{array} \right . \end{eqnarray} }

となっています．

結晶方位に関してはベクトル表記が単純なので， \vec{a1} + \vec{a2} + \vec{a3} = 0 により
u \vec{a_{1}} + v \vec{a_{2}} + w \vec{c} = U \vec{a_{1}} + V \vec{a_{2}} + T \vec{a_{3}} + W \vec{c}
が満たされることがわかりやすいと思います．

例）最も基本的な例として
[2\ \overline{1}\ \overline{1}\ 0] ， [\overline{1}\ 2\ \overline{1}\ 0] ， [\overline{1}\ \overline{1}\ 2\ 0] はそれぞれ4指数記法でa1軸，a2軸，a3軸を表し，まとめて \{2\ \overline{1}\ \overline{1}\ 0\} と書けます．
このように六方晶における等価な方位指数・面指数は，4指数記法の1～3番目の指数を循環させることで表現することができます．
一方これを3指数記法で表すと[100], [010], [110]となり，等価であることがわかりにくくなってしまいます．
六方晶では c軸方位とa軸方位に即した話題がほとんどでa+c方位(={2-1-1 3})，a+2c方位(={2-1-1 6})といった書き方もされます．4指数で考えることが基本となっていると思います．

下記のまとめ中に「2次元の構造を3次元で表現すると見通しが良い」とありますが，(わざと変数を多くした)4指数記法で記述することで理解が易しくなるというのは面白いですね．
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